Suma de infinitos términos de una progresión geométrica en una viñeta, gráfica y analíticamente

La suma de infinitos términos de una progresión geométrica es un concepto fundamental en matemáticas que se utiliza para determinar el valor al que tiende la suma de todos los términos de una progresión geométrica cuando el número de términos tiende a infinito.

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término posterior se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada la razón de la progresión. La fórmula general para el término número n de una progresión geométrica es:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

Donde:
– \( a_n \) es el término número n
– \( a_1 \) es el primer término de la progresión
– \( r \) es la razón de la progresión
– \( n \) es la posición del término en la progresión

Para calcular la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, se puede utilizar la siguiente fórmula:

\[ S_n = \dfrac{a_1 \cdot (1 – r^n)}{1 – r} \]

Donde:
– \( S_n \) es la suma de los primeros n términos
– \( a_1 \) es el primer término de la progresión
– \( r \) es la razón de la progresión
– \( n \) es el número de términos a sumar

Suma de infinitos términos en una viñeta

Para visualizar la suma de infinitos términos de una progresión geométrica, consideremos la siguiente viñeta:

Imaginemos una sucesión de rectángulos cuyas dimensiones son múltiplos de la razón de la progresión. Si la razón es menor que 1, podemos visualizar que cada rectángulo es más pequeño que el anterior. La suma de las áreas de todos los rectángulos nos dará la suma de infinitos términos de la progresión geométrica.

Suma de infinitos términos en una gráfica

Otra manera de visualizar la suma de infinitos términos de una progresión geométrica es mediante una gráfica.
Si graficamos los términos de la progresión geométrica en una línea, veremos que estos van convergiendo hacia un valor límite a medida que el número de términos aumenta. La suma de infinitos términos corresponderá a este valor límite.

Suma de infinitos términos analíticamente

Para calcular la suma de infinitos términos de una progresión geométrica analíticamente, podemos aplicar la fórmula mencionada anteriormente:

\[ S = \dfrac{a_1}{1 – r} \]

Donde:
– \( S \) es la suma de infinitos términos
– \( a_1 \) es el primer término de la progresión
– \( r \) es la razón de la progresión

Esta fórmula nos permite obtener el valor al que tiende la suma de todos los términos de la progresión geométrica cuando el número de términos tiende a infinito.

Conclusión

La suma de infinitos términos de una progresión geométrica es un concepto importante en matemáticas que nos permite determinar el valor al que tiende la suma de todos los términos de la progresión. Ya sea visualizando la suma en una viñeta, en una gráfica o calculando analíticamente, este concepto nos ayuda a comprender el comportamiento de una progresión geométrica cuando el número de términos es infinito.